LE CALCUL INTEGRAL

SOMMAIREAux origines de l'intégrale / Newton vs Leibniz / L'accueil mouvementé du calcul intégral / De Cauchy à Lebesgue / Le surplus du consommateur / L'intégration en physique / L'Able intégraleDossier 1 : L''intégrale de RiemannL''intégrale, outil analytique par excellence, répond à l''origine à un besoin de nature géométrique: calculer l''aire délimitée par des courbes du plan.Aire et intégrale / La quadrature de la cycloïde / La construction de l'intégrale de Cauchy / Les sommes de Darboux et de Riemann / L'intégrale de Riemann / L'intégrale pour mesurer des grandeurs / Les formules de la moyenneDossier 2 : Les bases du calcul intégralUne fois l''intégrale définie et son usage délimité, se pose la question de son calcul. Si certaines méthodes n''exigent qu''un minimum de technique, la plupart des intégrales nécessitent un calcul qui passe par la détermination de primitives de la fonction à intégrer.De la primitive à l'intégrale / L'intégration par parties / La technique du changement de variable / Les règles de Bioche / Les méthodes de quadrature /Les méthodes de quadrature / Calcul approché d'intégrales / Les méthodes de Monte-Carlo / Les théorèmes de Guldin / L'élégance de l'intégration terme à terme / La formule de WallisDossier 3 : Extensions de la notion d''intégraleL''histoire de l''intégrale ne s''arrête pas avec Riemann, ni même avec Lebesgue! Sa construction non plus. De nombreux mathématiciens ont cherché à étendre la notion d''intégrale à des classes de fonctions de plus en plus générales, pour simplifier la présentation ou pour les besoins d''une application.Les intégrales multiples/ L'intégrale de Stieltjes / Théorie de la mesure et intégrale de Lebesgue / Y a t-il une intégrale après Lebesgue? / Le passage difficile de l'intégrale de Riemann à l'intégrale stochastique / Dérivées et intégrales dans le monde des 0 et des 1 / Intégration dans le plan complexe : le théorème des résidus / La puissance de l'intégration fractionnaire / Les intégrales de CoxeterDossier 4 : L''intégrale en analyseL''intégrale est omniprésente en mathématiques et dans les applications. Elle intervient aussi bien en physique qu''en théorie du signal ou en tomographie, et dans pratiquement tous les domaines de l''ingénierie et de la finance.Convergence d'intégrales impropres / Intégrales de Fresnel, intégrale de Poisson / Suites et fonctions définies par une intégrale / Calcul de pi / Les intégrales eulériennes / La transformée de Laplace / Série et transformée de Fourier / Les atouts de la comparaison entre série et intégrale / Intégrales de bases / Le produit de convolution