Cours d'analyse - Volume 3

L'objectif principal de ce troisième volume est dedonner une introduction à la théorie des équationsdifférentielles ordinaires et aux dérivées partielles etd'introduire certains outils de base pour les méthodesmathématiques de la physique. La première partie présentela théorie fondamentale des équations différentiellesordinaires en utilisant les méthodes analytiquesclassiques. La deuxième partie développe les outils debases pour l'étude des équations aux dérivées partielles.La troisième et dernière partie concerne les équations auxdérivées partielles. Outil de travail conçu pour lesétudiants en mathématiques et physique dans leurs deuxièmeet troisième années d'études, la richesse et la complétudede son index en font un manuel de référence pour toutmathématicien.SommaireCONVENTIONS, NOTATIONS ET RAPPELS: Ensembles etfonctions - Nombres réels - Cardinalité - Quelquesfonctions réelles - Notations topologiques - Espace Ck -Intégration - Algèbre linéaire - Conventions diversesPartie I EQUATIONS DIFFERENTIELLES ORDINAIRESExistence et unicité des solutions: Généralités sur leséquations différentielles ordinaires - Théorèmes généraux -Equations linéaires - Prolongement des solutions - Exemples- Compléments - Remarques - ExercicesEquations linéaires : Systèmes linéaires généraux dupremier ordre - Systèmes linéaires du premier ordre àcoefficients constants - Calcul de exp(tA) - Equationslinéaires d'ordre supérieur - Equations linéaires du secondordre - Solutions à l'aide des séries entières - Etudequalitative des équations différentielles linéaires dusecond ordre - Exercices - ComplémentsPartie II Analyse Hilbertienne Espaces deHilbert: Notions fondamentales - Exemples - Espacesséparables - Systèmes orthogonaux - Séries et sommes dansun espace préhilbertien - Bases orthonormales -Approximation optimale - ComplémentsDéveloppements orthogonaux: Séries de Fourrier -Convergence ponctuelle des séries de Fourrier - Exercices -Compléments et généralisations - Séries de Fourier desdistributions - Exercices - Polynômes orthogonaux -Exercices - Compléments et remarquesOpérateurs dans les espaces Hilbertiens: Notionsfondamentales - Exemples - Opérateurs compacts - Théoriespectrale pour les opérateurs compacts symétriques -Equations intégrales - Spectre d'un opérateur borné -Exercices - Opérateurs non bornés - Spectre des opérateursnon bornés - Langage de la mécanique quantique -RemarquesTRANSFORMATIONS DE FOURIER ET DE LAPLACE:Transformation de Fourier - Développements théoriques -Formule de Stirling - Distributions - Compléments -Exercices - Compléments concernant la transformation deFourier - Transformation de Laplace - Développementsthéoriques -Transformée de Laplace des distributions -Applications aux équations différentielles - Exercices -Remarques complémentaires concernant la transformation deLaplacePARTI III Equations aux dérivées partiellesIntroduction: Généralités - Equations aux dérivéespartielles linéaires du premier ordre - Equations auxdérivées partielles linéaires du second ordre - Solutionsformelles - Conditions aux limites non homogènes - Exemplesd'opérateurs - Appendice - Exercices - ComplémentsPROBLEMES ASSOCIES AU LAPLACIEN: Formules préliminaires- Fonctions harmoniques - Fonctions sous-harmoniques -Propriétés des fonctions harmoniques - Problème deDirichlet - Valeurs propres - Equations de la chaleur -Equation des ondes - Exercices - IndicationsbibliographiquesRéponses aux exercices